Fizyka nurkowania, NURKOWANIE, teoria nurkowania
Fizyka nurkowania, teoria nurkowania
Fizyka budowli dla architektów, ARCHITEKTURA (czytelnia)
Fizyka sukcesu. Naukowe metody osiągania osobistego i finansowego szczęścia, OnePress
Fiz-pol-III-2014, Fizyka polimerów
Fiz-pol-IV-2014, Fizyka polimerów
Fiz-pol-VII-2014, Fizyka polimerów
Fiz-pol-VIII-2014, Fizyka polimerów
Fiz-pol-IX-2014, Fizyka polimerów
Fiszki - 1300 popularnych angielskich fraz, Język Angielski
Fizyka Zadania z rozwi zaniami cz. 1 - Jezierski K. Ko odka B. Siera ski K, Politechnika Poznańska MiBM, Semestr I, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]//-->Krzysztof Jezierski, Bogumił Kołodka, Kazimierz SierańskiFJ Z Y K AZADANIAZ ROZWIĄZANIAMICZĘŚĆ Iskrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów I rokuOFICYNA WYDAWNICZAi& u jitc iWROCŁAW 2000RACHUNEK WEKTOROWYKINEMATYKARACHUNEK WEKTOROWY1. Dane są dwa wektory:a= 3 / +4j+5k ,a) długość każdego wektora,b) iloczyn skalarny~ • b,ac) kąt zawarty między wektorami,d) iloczyn wektorowyaxb.a) Długość wektoraa-ax i +ay j +az kwyraża się zależnościąa = |7| =Jaj +a j +af/aTak więc dla wektorów danych w zadaniu:a - 5-J2, b - J2 .b) Iloczyn skalamy wektorówa - ax i+ay j +az korazb = b x i +by j +bz k—>b= -i+k .Obliczyć:wyraża się zależnością:a ■b = a xbx +ayby +azbz-7a.kwięc dla wektorów danych wzadaniua • b= -3 +5 - 2.c) Kąt zawarty między wektorami można wyznaczyć z zależności:~ • b=abcosaTak więc dla wektorów danych w zadaniu:cos4^=7^-.2.a , bj.Zakładając, żeŁ .^ a ,b J- mierzony w radianach - należy do przedziałuotrzymujemy rozwiązanieb) = 1.37.(0,n),d) Iloczyn wektorowy jest wektorem, który może zostać przedstawiony za pomocą symboluwyznacznika w następujący sposób:i } ka x b = ax ay azbx bv bzTak więc dla wektorów danych w zadaniu:i j k3 4 5-1 01axb■i-84+4k .Przypomnijmy, że wektorax i? jest zawsze prostopadły do płaszczyzny, w której leżą^■>wektoryaib, a zwrot jego jest wyznaczony przez tzw. regułę śruby prawoskrętnejwkręcanej odadob .4RACHUNEK W EKTOROWY2. Znaleźć wektor jednostkowyn,który jest prostopadły jednocześnie do wektoraa= (3,6,8) i do osiOX.AKierunek osiO Xokreślmy przez jednostkowy wektorx=(1,0,0) natomiast szukanywektorAn=(nx,ny,n z).Wektory są prostopadle wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalamy wynosi zero. TakA Awięc z warunków zadania wynika, że równymi zeru są iloczyny skalarnen -x-OorazA_yAA>A A 1/2> \n-a=0. Z kolei, ponieważnjest wektorem jednostkowym, to |n|= In • n\= 1-AStąd otrzymujemy układ równań na współrzędne wektoranAAn ■=nx•1+ny•+nz•=nx=,xn ■a= 3nx+6ny +8nz =0,1«|=n l + n j + n l= L2Z drugiego równania (po podstawieniunx= 0) otrzymujemy, żeny= - ynz.Podstawiając otrzymany wynik do równania trzeciego mamy-y-rtf +n| =1,a stąd99nz = 2 -5Otrzymujemy dwa rozwiązania= ± j , którym z kolei odpowiadają odpowiednio dwa—4Arozwiązaniany= - y. Ostatecznie otrzymujemy, że nasz wektornjest postaci:ł-n \= (°>-5<y)lubn2Jak widać otrzymaliśmy dwa rozwiązania (czego należało oczekiwać) w postaci dwóchwektorów mających taką samą długość lecz antyrównoległe kierunki (przeciwne zwroty).3. Udowodnić podane zależności rozkładając wektory na składowe:a)1? • (^£>=xbj =b ■? x~a),(b)~x ^bx T j =b ( li • c') - ~c{^a ■bJ.aa) Obliczmy najpierw iloczyn wektorowybx c . Skorzystamy z tego, że iloczynwektorowy dwóch wektorów można zapisać w postaci wyznacznika:i i7—>c =bx by bzcx cy Cz,>bx bzbx byi-i+cx Czcx Cyby bzCy Cz—5RACHUNEK W EKTOROWY=(byCz - bzCy) i+(bzCx—bxCz) j+ (pxCy- byCx) k .Obliczmy teraz iloczyn skalamy wektorów a ib x c .Otrzymujemya-^6x c ^ =dx(byCz - bzCy)+ay(bzCx —bxcz)+az(bxcy —byCx)-■^Analogicznie liczymy iloczyn wektorowya x b:ij kax ay azbx by bzoraz iloczyn skalamy wektorówciaxb ,który dalej przekształcamy7 •“axb• (aybz - azby) i +(azbx - axbz) j+(axby- ay6.t) £ .xb^ = cx(aybz - azby)+cy{azbx - axb2)+cz(axby-aybx) ■&ybzCx“QzbyCx+dzbxCy“UxbzCy“+OxbyCz+—QybxCz —= Qx(byCz - bzCy) + Cly(bzCxbxCz)a z(bx ^y ~ byC x) •Udowodniliśmy zatem pierwszą równość a ■6x c ) - ? • ( a x ć j.^>Na koniec obliczamy iloczyn wektorowyi j kC Cy CXZax ay azc xa:c x a• (cyaz - czay) i+{czax - cxaz) j+(cxay - cyax) k .oraz iloczyn skalamy wektorówbi c xa, który następnie przekształcamyb-( c x a3*bx(cyaz —czoy)+by(czax -cxaz) +bz(cxay —cyax)===azbxCy - dybxCz+axbyCz - azbyCx+aybzcx-axbzCy==ax(byCz - bzCy)+ay(bzcx-bxcz)+az(bxcy - byCx)=o■bx c ^ .^Udowodniliśmy więc prawdziwość całej zależności.b) Obliczamy najpierw iloczyn wektorowybxcb x~c-(bycz - bzcy) i+(fczc^ -bxcz) j+^-bycx) k .Następnie liczymy iloczyn wektorowy wektorówa i b x ci~x^6x 7 ) ■aka*azbyCZ - bzcy bzcx —bxcz bXCy —byCX6 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
