Fiat Punto 1.3 Multijet 16V Dynamic Renault Clio 1.5 dCi Luxe Privilège e Toyota Yaris 1.4 D-4D Sol High Pack, Motoryzacja, Motoryzacja
Fundamentals of Gas Dynamics, Angielskie techniczne
Fałszywe dokumenty Gorbaczowa. Kilka faktów o Katyniu, Historia
Fast Track 5 - Slow Ride,
Fraktale--Pogonowski-p56--slides, Uklady Dynamiczne, Chaos i Fraktale
Fraktalny Rendering Krzywych i Powierzchni-p26, Uklady Dynamiczne, Chaos i Fraktale
Fargo.S01E05.720p.HDTV.450MB.ShAaNiG.com(1), Fargo S01 720p HDTV Fargo sezon 1 PL HD
Full Metal Panic Fumoffu 10.DVD(H264.AAC)[KAA][EE4CE7AE], Anime, Full Metal Panic!, Full Metal Panic! Fumoffu, Napisy PL
Fiat Linea 2013, Broszury samochodowe
Free Service Manuals and Schematics, RTV, Schematy
Fraktale Wokół Nas i Kilka Slow o Chaosie--Winnicki--p16, Uklady Dynamiczne, Chaos i Fraktale
[ Pobierz całość w formacie PDF ]//-->ZESZYTY NAUKOWE 169-184Ireneusz WINNICKI1FRAKTALE WOKÓŁ NASI KILKA SŁÓW O CHAOSIEStreszczenieW artykule zawarte są podstawowe informacje na temat geometrii fraktalnej oraz chaosu pojawia-jącego się w obliczeniach. Przedstawione są w nim przykłady struktur fraktalnych występującychw środowisku naturalnym, w tym w wybranych procesach atmosferycznych. Materiał ten ma za-chęcić ambitnych studentów do sięgnięcia do bardzo bogatej literatury.AbstractThe article presents basic information on fractal geometry and chaos, which appeared during dif-ferent calculations. Some examples of fractal structures in environment and in the processes in theatmosphere are included. This article is aimed to raise interest of ambitious students to refer themto the literature.1. WSTĘP – DEFINICJA FRAKTALA. FRAKTALE W NATURZECo to jest Fraktal wie każdy, choć może nie jest tego świadomy. Jeżeli ktoś niepotrafi poprawnie zdefiniować tego terminu, to na pewno go słyszał. Otóż, fraktaljest pewną strukturą samopodobną spełniającą kilka warunków, z których najważ-niejszym jest wymiar fraktalny Hausdorffa2(właściwie: Hausdorffa–Besicovitcha).Ten konkretny warunek zakłada, że wymiar Hausdorffa fraktala jest niemniejszy odjego wymiaru topologicznego. A to oznacza, że dowolna krzywa jakiegoś kształtujest topologicznym równoważnikiem prostej linii i ma topologiczny wymiar wyno-szący jeden. Oznacza to również, że wymiar krzywej nie może być mniejszy od jed-ności, a figury płaskiej od dwóch.1Prof. dr hab. inż. wykłada w Warszawskiej Wyzszej Szkole Informatyki. Jest etatowym pracownikiemWojskowej Akademii Technicznej.2Felix Hausdorff(ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.169Ireneusz WINNICKIPonadto, musimy zapamiętać, że wymiar topologiczny punktu (oraz zbioru punk-tów) jest równy zeru.Fraktal powstaje w wyniku niezbyt złożonej procedury geometrycznej. Jednakkażda taka konstrukcja prowadzi do przybliżenia, a nie do efektu ostatecznego. Takwięc:- Fraktale istnieją jedynie jako idealizacja zjawiska.- Fraktale są obiektami granicznymi opisywanymi nie wzorem, ale zależno-ściami rekurencyjnymi.Z tego drugiego powodu wprowadzono wymiar Minkowskiego-Bouligandaw postaci granicy ciągu liczbowego.Co to znaczy, że pewna struktura geometryczna jest samopodobna? Otóż, naj-lepiej to wyjaśnić na przykładzie linii prostej. Każdy jej fragment jest podobny docałości. Nie jest ważne, czy z niej wytniemy odcinek o długości 1 kilometra, 1 metra,czy 10 centymetrów. Każdy z tych fragmentów jest podobny do całej prostej. Jednakuwaga: prostej nie uważa się za fraktal. Oprócz cechy samopodobieństwa, fraktalmusi spełniać warunki, których prosta nie spełnia.Zasada samopodobieństwa występuje w matematyce wielokrotnie. Jednym z naj-starszych i najważniejszych przykładów jest nasz układ dziesiętny. Jeden metr dzielisię na dziesięć decymetrów, decymetr na dziesięć centymetrów, centymetr na dzie-sięć milimetrów itd.Z powyższego opisu wynika, że fragment zbioru powinien być podobny do cało-ści. Pojawia się naturalne pytanie: jak głęboko możemy „wchodzić” w wydzielonefragmenty? Czy jest gdzieś granica takiego „zanurzania się” i otrzymywania kolej-nego mniejszego obiektu, ale podobnego do zbioru wyjściowego? Otóż, w geometriiopisywanej równaniem rekurencyjnym nie ma takiej granicy. W matematycznymmodelu fraktali własność samopodobieństwa przenosi się na następną generację nie-skończenie wiele razy.Ale w naturze – jest! Shaun Lovejoy [3], [5], geofizyk kanadyjski, analizowałprawdziwe chmury na podstawie zdjęć satelitarnych. W wyniku tych badań doszedłdo nadzwyczajnego wniosku:nie dość, że chmury są fraktalami, to jeszcze w siód-mym „zanurzeniu” ich wymiar fraktalny jest taki sam.Taki stopień jednorodno-ści jest praktycznie bezprecedensowy wśród zjawisk naturalnych. Przykłady chmur,które najtrafniej obrazują budowę fraktalną przedstawiamy na rysunku 1.170FRAKTALE WOKÓŁ NAS I KILKA SŁÓW O CHAOSIERys. 1. Chmury Cumulus i Altocumulus. Prawy dolny rysunek jest wynikiem symulacji komputerowejLovejoy badał także opady deszczu, stwierdzając,że granice obszarów pokrytych deszczem stanowiąfraktal. Co więcej, deszcz ma tendencję do padanianieregularnymi zrywami, a jego zmiany w krótkichi długich skalach czasu są podobne, tak więc czaso-wa struktura deszczu jest również fraktalna.Niektóre obiekty mogą charakteryzować sięzmiennym wymiarem fraktalnym. Oznacza to, że(przykładowo) chmury lub błyskawice na kilkupierwszych poziomach zanurzenia charakteryzu-ją się wymiarem fraktalnymD1, a na kilku kolej-Rys. 2. Błyskawicanych wymiaremD2. Mamy wówczas do czynieniaz „przeplatającymi się” fraktalami, czyli tzw.multifraktalem.Zagadnienie to opisu-je m.in. prof. Wiesław Macek [19].171Ireneusz WINNICKIKolejnym fraktalem zaczerpniętym z natury jest wyładowanie atmosferyczne –błyskawica. Błyskawica nie jest linią prostą. W każdym jej fragmencie możemy do-szukiwać się podobieństwa do obrazu wyładowania początkowego (rysunek 2).Wiemy już, że miarą samopodobieństwa jest pewna liczba, zwana wymiaremfraktalnym. Jej wyznaczenie w jednym przypadku jest proste, w innym dość złożone.Opis tej metodyki można znaleźć w różnych źródłach (patrz wykaz literatury).Rys. 3. Podobieństwo fragmentów linii brzegowejRys. 4. Punkt Zabriskiego w Dolinie Śmierci ilustruje fraktalne ukształtowanie terenu172FRAKTALE WOKÓŁ NAS I KILKA SŁÓW O CHAOSIEPowyżej zamieszczamy kilka innych przykładów takiego samopodobieństwa. Narysunku 3 przedstawione jest zdjęcie satelitarne wybrzeża. Przy każdym kolejnympowiększeniu widzimy podobne fragmenty: małe zatoki, jakieś półwyspy. W każ-dym przypadku linia brzegowa jest poszarpana.Na rysunku 4 prezentujemy tzw. Punkt Zabriskiego – wierzchołki gór w ParkuNarodowym Doliny Śmierci w Kalifornii jako przykład fraktalnego modelu terenu.Bardzo dobrą ilustracją fraktala są kalafiory i brokuły, w szczególności brokuływłoskie (Romanesco broccoli, patrz rysunek 5).Rys. 5. Brokuły włoskieRys. 6. Spirala Fibonacciego (logarytmiczna) na brokule włoskim. Jest to tzw. Złota spirala. Współczynnik b jestzłotą liczbą173 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
